Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Ángulos: Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.

Por su abertura:

Un ángulo se forma cuando dos líneas rectas se unen. La amplitud del giro de un ángulo se puede medir, y la unidad que se utiliza para expresarlo se llama grado. Si se realiza una vuelta completa, el ángulo mide 360 grados, escrito esto como 360°.		Media vuelta completa (lo que significa pasar justo al lado opuesto) es un giro de 180°. Este tipo de ángulo se llama ángulo llano.
Un cuarto de vuelta es un giro de 90°, también llamado ángulo recto.		Si un ángulo tiene menos de 90°, se llama ángulo agudo.
Si un ángulo tiene más de 90°, pero menos de 180°, se llama ángulo obtuso.		Si un ángulo mide más de 180°, se llama ángulo cóncavo.
Si un ángulo tiene menos de 180°, se llama ángulo convexo.		Si un ángulo tiene 0°, se llama ángulo nulo.

Por la posición entre dos rectas paralelas y una secante (transversal):

Ángulos exteriores: están fuera de las paralelas (1, 2, 7, 8).

Ángulos interiores: están dentro de las paralelas (3, 4, 5, 6).

Ángulos correspondientes: uno fuera y otro dentro a un mismo lado de la transversal (1 y 5, 4 y 8, 2 y 6, 3 y 7).

Ángulos consecutivos: los dos dentro o fuera a un mismo lado de la transversal (4 y 5, 1 y 8).

Ángulos alternos internos: dos ángulos dentro de las paralelas y a diferentes lados de la transversal (5 y 3, 6 y 4).

Ángulos alternos externos: dos ángulos fuera de las paralelas y a diferentes lados de la transversal (1 y 7, 2 y 8).

Por la suma de sus medidas:

	Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si suman 90°
	Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

Triángulos:

Por la medida de sus lados:

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales.

Por la abertura de sus ángulos

· Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

· Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

· Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

· Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.


Rectángulo	Obtusángulo	Acutángulo
	$\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}$
	Oblicuángulos

Propiedades relativas de los triángulos

Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b – c

2La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

3 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = A + B

α = 180º - C

4En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5 Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Comprendes la congruencia de triángulos

Criterios de congruencia:

LAL significa lado-ángulo-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.

Postulado ALA

ALA significa ángulo-lado-ángulo.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales.

Postulado LLA

LLA significa lado-lado-ángulo

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

Postulado LLL

LLL significa lado-lado-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

Teorema de tales

Si dos rectas cuales quieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejercicios

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

2. Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Tales.

El teorema de Tales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a² + b²= c²

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

1 Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

Conoces las propiedades de los polígonos

Polígonos

Un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita desegmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices.

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

· Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

· Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.

· Diagonal (d): es el segmento que une dos vértices no continuos.

· Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.

· Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.

· Ángulo interior (AI): es el ángulo formado internamente por dos lados consecutivos.

· Ángulo exterior (AE): es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

En un polígono regular se puede distinguir, además:

· Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.

· Ángulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.

· Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

· Diagonales totales, $N_d =\frac{n(n-3)}{2}$ , en un polígono de $n\,$ lados.

Propiedades:

1ra La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de "n" lados es igual a tantas veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono.
2da El valor de un solo ángulo interior de un polígono convexo regular de "n" lados es:
3ra La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es igual a 4 ángulos rectos
4ta El valor de un solo ángulo exterior de un polígono regular convexo de "n" lados es:
5ta La suma de los ángulos centrales de un polígono convexo regular es igual a 4 ángulos rectos.
6ta
El valor de un solo ángulo central de un polígono convexo regular de "n" lados es:

7ma El número total de diagonales de un polígono es: De cada vértice de un polígono se pueden trazar (n - 3) diagonales; de los "n" vértices se podrán trazar n(n - 3) diagonales, pero todo sobre dos, pues cada diagonal corresponde a dos vértices diferentes.
8va La suma de los ángulos interiores de un polígono cóncavo es igual a tantas veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono.
9na La suma de los ángulos exteriores de un polígono cóncavo es igual a 4 ángulos rectos.

Angulo central

Es el formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360°: n

Ángulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72º

Angulo interior

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior =180° − Ángulo central

Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

Suma de los ángulos

Suma de los ángulos exteriores de un polígono

La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360 grados o $2\pi$ radianes cuando se considera solamente un ángulo exterior por cada vértice del polígono, sin importar el número de lados de éste. Cuando se consideran los dos ángulos externos posibles de cada vértice, la suma de todos ellos es igual a 720° o $4\pi$ rad.

Demostración

En un polígono regular, la suma de los ángulos interiores es 180° (N – 2) = 180°N – 360° = Nα

Como α = 180° – β => Nα = 180°N – Nβ => 180°N – 360° = 180°N – Nβ

Luego: Nβ = 360°, y 2Nβ = 720° siendo 2Nβ la suma de los ángulos exteriores del polígono.

Ángulos interiores

Si n es el número de lados de un polígono:

S = (n − 2) · 180°.

Suma de ángulos de un triángulo = (3 − 2) · 180° = 180º.

Suma de ángulos de un cuadrilátero = (4 − 2) · 180° = 360º.

Suma de ángulos de un pentágono = (5 − 2) · 180° = 540º.

Suma de ángulos de un hexágono = (5 − 2) · 180° = 720º.

Angulo central

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360°: n

Ángulo central del hexágono regular= 360°: 6 = 60º

PROBLEMAS DE POLIGONOS

¿En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales? Rpta.- Pentágono

El doble del perímetro de un polígono equivale numéricamente a la cantidad total de diagonales que se puede trazar. Si cada lado del polígono mide 1,75cm ¿Cuántos lados tiene el polígono? Rpta.- 10

¿En qué polígono se cumple que el número de lados, más el número de ángulos internos, más el número de diagonales trazadas desde un vértice, es 15? Rpta.- hexágono

¿Cuántos lados tiene el polígono donde el número de lados excede en 2 al número de diagonales? Rpta.- 4

En un polígono regular se cumple que la suma de medidas de los ángulos interiores es 6 veces la medida de un ángulo interior. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? Rpta.- 6

¿En qué polígono se cumple que el número de lados más la mitad del número de vértices es igual al número de diagonales? Rpta.- 6

¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en el que la suma de los ángulos internos es 8 veces la suma de los ángulos externos? Rpta.- 18

Cinco ángulos de un hexágono miden 120º, 130º, 140º, 150º y 160º. Halla la medida del sexto ángulo. Rpta.- 20º

Calcula el número de diagonales de un polígono regular, sabiendo que la medida de cada ángulo externo equivale a un tercio de la medida de un ángulo interno. Rpta.- 20

¿Cuántas diagonales tiene el polígono convexo cuya suma de sus ángulos interiores es 3600º? Rpta.- 209

¿Cuántos lados tiene un polígono cuyo número de diagonales es el quíntuple del número de sus vértices? Rpta.- 13

¿En qué polígono regular se cumple que la medida del ángulo exterior es el doble de la del ángulo interior? Rpta.- 3

¿Cuántos lados tiene un polígono regular si la medida de su ángulo central es la mitad de la medida de su ángulo interior? Rpta.- 6

Determina cuántos lados tiene un polígono convexo cuyo número de diagonales excede en 8 al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos. Rpta.- 10

La suma de los ángulos interiores, exteriores y centrales de un polígono regular es 1260º. Calcula el número de lados del polígono. Rpta.- 5

Determina el número de diagonales de un polígono regular, sabiendo que la medida del ángulo interior es el doble de la medida de un ángulo central. Rpta.- 9

Si el número de vértices de un polígono regular aumenta en tres, el número de diagonales aumenta en 18. Calcula la medida del ángulo interior del polígono original. Rpta.- 120º

¿Cuánto mide el ángulo central del polígono regular que tiene 170 diagonales? Rpta.- 18º

Si a un polígono regular se le disminuye cinco lados, el número de sus diagonales disminuye en 40. Calcula la medida del ángulo central del polígono original. Rpta.- 30º

Al aumentar en 2 el número de lados de un polígono regular la medida de su ángulo externo disminuye en 15º. ¿Cómo se llama el polígono regular? Rpta.- hexágono

Si el número de lados de un polígono aumenta en 3, el número total de diagonales se cuadruplica. Halla el polígono final. Rpta.- hexágono

En que polígonos al sumar el número de diagonales más el número de lados se obtiene 21. Rpta.- heptágono

Alrededor de una ciudad hay 20 torres y entre cada dos torres hay una línea de alta tensión. ¿Cuántas líneas hay? Rpta.- 20 líneas.

Si se prolongan los lados de un pentágono regular ¿Cuánto medirá el ángulo convexo de esta estrella de 5 puntas? Rpta.-36º

Circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

· Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

· Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;

· Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);

· Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros)

· Secante, es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos;

· Tangente, es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;

· Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

· Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

· Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Ángulos en una circunferencia

Un ángulo, respecto de una circunferencia, puede ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base.

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia.

Área y perímetro

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

$A = \pi \cdot r^2$

El perímetro de un círculo es una circunferencia y su longitud es:

$P = \pi \cdot\ 2r$

$P = d \cdot \pi$

Donde:

· $P \,$ es la longitud del perímetro

· $\pi \,$ es la constante matemática pi ( $\pi=3.1416...$ )

· $r \,$ es la longitud del radio

· $d \,$ es la longitud del diámetro

Para obtener el perímetro de un círculo se multiplica el diámetro por pi.

Funciones trigonométricas

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: $\sin \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo $\alpha$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: $\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: $\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto: $\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}.$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente: $\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}.$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: $\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}.$

	0°	30°	45°	60°	90°
sen	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$\infty$

Sistema sexagesimal

El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

1 h

60 min.

60 s

1º

60'

60''

El sistema sexagesimal comprende las horas, minutos y segundos. Para realizar las operaciones clásicas, o sea para sumar y restar empleando el sistema sexagesimal, debemos considerar que los minutos y los segundos no pueden superar el número sesenta (60). También es necesario recordar que 1 hora = 60 minutos y que 1 minuto = 60 segundos. Ejemplo de suma en el Sistema Sexagesimal Dentro de 1 hora y 15 minutos dará inicio una competición de atletismo en pista en la ciudad de Guadalajara, México. ¿Si ahora el reloj marca las 6 horas y 55 minutos, a qué hora exactamente comenzará la competencia?

6 h 55 m 00 s

1 h 15 m 00 s

-------------------------------

7 h 70 m 00 s

La suma normal nos daría 7 h 70 m 00 s, pero como cada vez que pasemos el 60, anotamos el resto y trasladamos las veces que se formaron grupos de 60, o sea que el resultado final para ese ejemplo de suma es 8 h 10 m 00s. El mecanismo es separar en primer término las horas y los minutos, y después iniciamos las operaciones por los segundos. Otro ejemplo de suma: Un automovilista recorre una vuelta completa a la pista en 19 minutos y 14 segundos. Si inicia el recorrido a las 17 horas, 12 minutos y 43 segundos, ¿A qué hora llegará a la meta?

0 h 19 m 14 s

17 h 12 m 43 s

------------------------------

17 h 31 m 57 s

La respuesta para este ejemplo es que el automovilista llegará a la meta a las 17 h 31 m 57 s.

Ejemplo de resta en el Sistema Sexagesimal Marcelo está observando la transmisión en directo de un juego de fútbol que duró 1 hora, 33 minutos y 50 segundos. Si ya han transcurridos 48 minutos y 20 segundos ¿Cuánto faltará para que termine?

1 h 33 m 50 s

48 m 20 s

-------------------------------

0 h 45 m 30 s

En este ejemplo no podemos restar 33 minutos - 48 minutos, por lo que debemos tomar o "pedir prestado" 60 minutos al factor de las horas. Entonces nos quedará 60m + 33m = 93 m, y entonces sí podremos realizar la resta. Ten presente que en el sistema sexagesimal "se prestan" 60. Otro ejemplo de resta: Una exhibición de patín sobre hielo culminó a las 16 horas y 15 minutos. Si el espectáculo duró 2 horas y 25 minutos, ¿A qué hora dio comienzo? Lo resolvemos con la siguiente operación: 16 h 15 m 00 s

2 h 25 m 00 s

-----------------------------

13 h 50 m 00 s

Sistema circular

Sistema Circular: Es uno de los sistema de medida de ángulos que existe.

En este sistema de medición la unidad de medida es el radián (rad.). Un radián se define como la medida del ángulo, que encierra un arco de circunferencia de longitud igual al radio de ésta. Esto es, dada una circunferencia de radio "r", un radián, es la medida del ángulo que forma un arco de circunferencia cuya longitud es "r".

1) Expresar

= 200º en el sistema circular.

180º -----------

rad

200º -----------

En este caso, el ángulo queda expresado en forma exacta en función de

, por eso podemos decir simplemente que:

2) Expresar

= 28º 30’ en el sistema circular.

180º -----------

rad

28º 30’ -----------

0,4974 rads

En este caso, recurrimos al uso de calculadora para realizar

0,15833

Como el resultado anterior es una aproximación, no tiene sentido expresar a

en forma exacta, por lo que procedemos a realizar el producto entre 0,15833 y la aproximación del número

.
Como el ángulo no queda expresado en función de

, debemos indicar la unidad de medida rad.

Entonces:

0,4974 rad

3) Expresar

en el sistema sexagesimal.

Rad ----------- 180º

-----------

Entonces:

4) Expresar

= 1 rad en el sistema sexagesimal.

Rad ----------- 180º

1 rad -----------

En este caso, NO podríamos haber dado como resultado

, y entonces recurrimos al uso de la calculadora para realizar la división entre 180° y la aproximación del número

Entonces:

	0°	30°	45°	60°	90°
sen	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$\infty$

Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras,

Las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los

Ángulos del Triángulo.

Empezaremos a ver cada una de las Funciones:

1. Función  Seno (Sen):

    La Función Seno nos describe la relación  existente entre Lado Opuesto sobre la

    Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

                  

2.  Función
Coseno (Cos):



     La
 Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente
sobre



     Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:




             

3.  Función Tangente (Tan):

Ésta Función nos
representa la relación entre Lado Adyacente sobre

Hipotenusa. Su
simbología es la siguiente:

 



     
       También tenemos las  Funciones que son inversas a las anteriores:
       4.  Función  Cotangente (Cot):
            
            Que describe la relación  entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:
                      
       5.  Función Secante (Sec):
            
            Relación entre Hipotenusa sobre  Lado Adyacente:

 
                     
              6.  Función  Cosecante (CsC):
 
      Nos muestra la relación entre Hipotenusa  sobre  Lado Opuesto:    
       
 


      Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición)
de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales.

 Para
que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de
catetos de 3 cm.
y 4 cm,
que tendrá su hipotenusa de 5
 cm (Pitágoras

 Aplicas las funciones trigonometricas

Funciones trigonometricas en el plano cartesiano

En un plano cartesiano, los catetos y la
hipotenusa toman valores determinados

La hipotenusa es 1

cateto adyacente es "x"

cateto opuesto es "y"



Tomando en cuenta la razón de las funciones
trigonométricas:



senA=co/hip

cosA=ca/hip

tanA=co/ca

cotA=ca/co

secA=hip/ca

cscA=hip/co haciendo las sustituciones
correspondientes:



senA=y/1=y

cosA=x/1=x

tanA=y/x

cotA=x/y

secA=1/x

cscA=1/y



En un plano cartesiano, cada sección del mismo
se llama cuadrante y lo distinguen con #'s romanos

..........|

....II....|.....I

_____|_____ x

..........|

...III....|.....IV

.........y

Primer cuadrante, segundo cuadrante, tercer
cuadrante y cuarto cuadrante

Enel I cuadrante, el valor de "x" y de
"y" es +, por lo que TODAS las funciones trigonométricas son
positivas. En el II cuadrante "x" es - y "y" +, por lo que
en este cuadrante el SENO y CSC son +'s. En el III cuadrante "x" es -
y "y" es -, por lo que TAN y COT son+'s y en el IV cuadrante
"x" + y "y" -, COS y SEC son +'s



El resultado de las funciones trigonométricas se
repiten en 2 cuadrante.

Entonces, en base al signo, en el 1er ejemplo,
piden obtener las funciones trigonométricas de TanB=10/8 la cual corresponde al
primer y tercer cuadrante, ya que en estos 2 la Tan es +

En el 2do, piden las funciones en el primer y
segundo cuadrante

en el tercero, piden las funciones en el segundo
y cuarto cuadrante





.............|

....sen...|...to

______.|______ x

.............|

....tan....|...Cos

.............y En base al signo positivo, la
palabra "tosentancos"

to=todas

sen=el seno y su recíproco

tan= la tangente y su recíproco

cos= el coseno y su recíproco.

Circulo unitario 

 La circunferencia
goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo
unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el
origen (0, 0) de un sistema de coordenadas
cartesianas, de un plano euclídeo.

Dicha circunferencia se utiliza con el fin de
poder estudiar fácilmente las razone
trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia
unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos
de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen
la ecuación:











Grafica de la función seno 





    Grafica función coseno

 
 
Grafica función tangente

 
 
 
 
 
 
Ley de los senos y los cosenos 
La ley de seno es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera.  En ocasiones necesitarás resolver ejercicios que envuelven triángulos que no son rectángulos.  La ley del Seno y la del coseno son muy convenientes para resolver problemas de triángulos en los que no hay ningún ángulo rectángulo como los discutidos en la sección de trigonometría básica. 

Resolución
de triángulos por la ley de los Senos

Resolver un triángulo
significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus
tres ángulos internos.

Para
resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de cosenos. Todo
dependerá de los valores conocidos.

Ejemplo: Supongamos que en el triángulo de la
figura 1 . Encontrar la longitud del  tercer lado y la medida de los otros dos
ángulos.

Solución:

Calculemos el ángulo 







Como los tres ángulos internos deben sumar 180º, podemos obtener
el ángulo ,







Para calcular el lado c podemos utilizar nuevamente la ley de
senos:






 
La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de Pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones: 


En el triángulo ABC son conocidos los
tres lados y desconocidos los ángulos internos A, B, C.

En este caso
debemos trabajar la ecuación de la ley del Coseno para despejar cada ángulo, es
decir:







Cos A = 0.8488

Sacando el
inverso de la función:



A = 31.9º







Cos B = 0.9644

Y sacando el
inverso de la función:



B = 15.3 º

Para hallar el
valor del ángulo C podemos aplicar la ley del coseno ó aplicar la propiedad que
la suma de los ángulos internos de todo triángulo es igual a 180º:

A + B + C = 180º

31.9 º + 15.3 º + C = 180 º

C = 180 º - 31.9 º - 15.3 º

C = 132.8 º
Fin